t 检验：原理&应用前提

用「样本均值和假设均值之间的差异」除以「抽样带来的随机波动大小」，得到一个标准化的比值（t 值）；再看这个比值极端程度，判断差异是不是大概率只是随机运气。

1. 单样本 t 检验，检验：样本均值 $\bar x$ 是否和假定总体均值 $\mu_0$有差异

• 分子：$\boldsymbol{\bar x-\mu_0}$ → 实际偏差：样本均值离我们假设的中心有多远
• 分母：$\boldsymbol{s/\sqrt{n}}$ → 均值的标准误 SE：样本均值本身天然会随机波动有多大
• 👉 t 的含义：这个偏差，是标准误的多少倍

应用前提：

1. 独立性：样本观测之间相互独立
2. 正态性：总体服从正态分布（小样本时严格；大样本 CLT 兜底，可放宽）
3. 总体方差未知（这也是为什么不用 Z 检验，改用 t 分布）

2. 独立双样本 t 检验（两组均值对比），检验：两个独立总体均值$(\mu_1=\mu_2)$是否成立

• 分子：两组均值之差
• 分母：两组均值差的标准误（两个抽样波动合并）
• 自由度分两种：方差齐$(df=n_1+n_2-2)$；方差不齐：Welch 校正 t 检验（自由度用复杂公式近似，Minitab 默认这个）

方差齐，应用前提：

1. 两组样本内部观测独立；两组之间互相独立
2. 正态性：两组各自总体正态
3. 方差齐性（Homoscedasticity）：两个总体方差相等 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$

方差不齐，应用前提：

1. 独立、正态不变
2. 不需要方差齐性！方差不齐时优先用 Welch t（Minitab 默认经常是这个）

3. 配对 t 检验（成对数据：同一对象前后、左右）

本质上就是单样本 t 检验：先算每一对差值$d_i=x_{1i}-x_{2i}$，然后检验差值的均值 $\bar d$ 是否等于 0

$df = n – 1$

应用前提：

1. 配对内部的差值相互独立
2. 差值服从正态分布（不要求两组各自正态）
3. 配对是相关设计，不再要求两组独立