标准表述（最常用的独立同分布版本）

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$是从同一个分布里独立抽出来的随机样本，不管这个分布是什么形状，只要：

• 期望存在：$\mathbb{E}[X_i] = \mu$
• 方差有限且不为零：$\mathrm{Var}(X_i) = \sigma^2 > 0$

那么当 $n$ 越来越大时，标准化后的样本均值会依分布收敛到标准正态：$Z_n = \frac{\bar{X}_n – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \;\xrightarrow{d}\; N(0,1)$

其中 $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$是样本均值。

符号	读法	大白话
$\xrightarrow{d}$​	“依分布收敛”	随着 n 变大，这个统计量的概率密度形状越来越像 N (0,1)，不是指它的值逼近某个数
$\bar{X}_n – \mu$	样本均值减总体均值	抽样误差（中心偏移）
$\sigma / \sqrt{n}$	标准误（standard error）	抽样误差本身的 “典型大小”—— 除以 √n 就是说样本越大，均值越稳
$N(0,1)$	标准正态分布	均值 0、方差 1 的钟形曲线

1. 不管母分布是什么形状（均匀的、指数的、偏态的、甚至抛硬币的 0/1），只要独立、方差有限，把 n 个加起来再平均，结果的形状会自动 “长成” 钟形正态曲线。
2. 为什么要除以 $\sqrt{n}$ 而不是 n：独立变量求和时，方差是相加的$\mathrm{Var}(\sum X_i) = n\sigma^2$，所以标准差按$\sqrt{n}$增长；除以$\sigma/\sqrt{n}$是在 “标准化”，把尺度拉回统一坐标系。
3. 收敛速度：一般 $n ≥ 30$ 就够用，$n ≥ 100$ 已经很稳。但如果母分布严重偏态或有厚尾，需要更大的 n。这也是为什么泊松当年能拿出柯西分布当反例 —— 柯西分布连方差都不存在，CLT 直接失效。

硬币投掷实验室

COIN TOSS → NORMAL

正面次数如何长成钟形？

每次投掷正面概率 p = 0.5；改变投掷次数 n，观察概率分布。

正反

正面 k 次的实际概率正态近似曲线