方差分析ANOVA：定义

方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）：一种比较 3 组或以上总体均值的参数假设检验方法，核心思路是分解总变异为组间变异与组内变异，通过 F 统计量判断各组均值是否存在显著差异。

核心思想：把响应变量 Y 的全部总变异（总平方和 SST）拆成两部分

$SST = SSA(\text{组间平方和}) + SSE(\text{组内平方和})$

1. 组间变异 SSA：不同处理 / 组别之间带来的差异（因子引起的系统性差异 + 随机误差）
2. 组内变异 SSE：同一组内部个体随机波动，代表纯随机误差

构造 F 统计量：

$F=\frac{MSA(\text{组间均方})}{MSE(\text{组内均方})}$

• $MSA=SSA/df_A$，$MSE=SSE/df_E$
• 如果各组总体均值没有差异，那么组间变异≈组内变异，F≈1；
• 如果组间差异显著大于随机误差，F 会明显大于 1，p＜α，则拒绝原假设。

ANOVA 原假设 & 备择假设（One-way 为例）

$H_0$：所有组的总体均值相等，$\mu_1=\mu_2=\mu_3=…=\mu_k$ $H_1$：至少有一组均值和其他组不相等

✅ 重点易错点：ANOVA 是整体检验，显著只代表 “存在差异”，不知道具体哪两组不同，需要事后多重比较（Tukey、Duncan、Bonferroni 等）。

基本前提假设（参数 ANOVA）

1. 各组样本相互独立
2. 每组内的因变量服从正态分布
3. 各组方差齐性（各组总体方差相等，homogeneity of variance）

👉 重复测量 ANOVA 额外增加：球形性假设